K postupným adaptáciam v priebehu času sa v modeli používa integrálny filter s časovou konštantou. Z matematického hladiska sa jedná o filtráciu prudkých zmien priebehu funkce, čo znamená že výstup sa približuje k hodnote na vstupe na základe predchádzajúcej hodnoty výstupu.

Skúmaný vzťah

> F_o = ∫ (F_i - F_o)*k dt

je možno taktiež vyjadriť ako

dF_o / dt = (F_i - F_o)*k
dS_o / dt = (F_i - k*S_o) , kde F_o := S_o * k (resp. dF_o := dS_o * k )

Pri vyjadrení pomocou S_o nadobúda kumulačná hodnota v integrále T-krát vyšších hodnôt. T je pritom časová konštanta rovná 1/k, obvykle v rádoch desiatkach, či stovkách minút.

Pokiaľ sa hodnota vstupnej funkcie v priebehu jedného časového kroku (napr. 1 min) príliž nemení, tak je možné filter implementovať pomocou sumy.

∑_j+1 = ∑_j + (A_j+1 - ∑_j)*k
resp.
S_j+1 = S_j + (A_j+1 - S_j*k)

Nasledujúcim odvodením je možné dokázať, že i v tomto prípade nám platí vzťah ∑_j+1 = k*S_j+1.

∑_j+1 = k*A_j+1 + (1-k)*∑_j = k*(A_j+1 + (1-k)A_j + (1-k)²A_j-1 + …)
S_j+1 = A_j+1 + (1-k)*S_j = A_j+1 + (1-k)A_j + (1-k)²A_j-1 + …

Takéto zjednodušenie používa aj Gyuton v pôvodnej implementácii vo Fortrane. Tu je však veľmi dôležité aby bola filtračná konštatnta k menšia ako jedna (vzhľadom k nášmu výberu konštantného kroku = 1), pretože inak začne výstupná hodnota oscilovať. [Ak by k bolo rovné jednej tak bude výstup rovnaký ako vstup.] Pre malé časové konštanty T (=1/k) je tak zabezpečená táto podmienka pomocou predpočítaním k aproximáciou z exponencionály. A to tak aby vždy ležalo k medzi nulou a jednotkou. Konštanta k sa tak pred použitím prepočíta pomocou vzťahu

k := 1 - e^-k

Pri bližšom náhľade na funkci, je možné zistiť, že pre malé k sa hodnota príliž nemení. [funkce je spojitá, dokonca v každej hodnote je nekonecne derivovatelná; prechádza nulou, kde má deriváciu 1. Tj. dotýka sa funkce k:=k v nule]. Navyše každé k, ktoré do nej vstupovalo väčšie ako jedna prevedie na k, ktoré už nebude oscilovať. [limita danej funkce v nekonečnu je jedna].

Na použitie daného postupu je možné nahliadnuť v Guytnovej implementácii modelu angiotenzínu vo Fortrane.

Marek Mateják